相加相乗平均についての質問です。x>0のとき

Writer: admin Type: sudam Date: 2019-01-18 00:00
相加相乗平均についての質問です。x>0のとき、x+9/x+2の最小値を求めよ。という問題でx+(9/x+2)=x+2+(9/x+2)-2に置き換えて計算をしているんですがなぜこの時の相加平均と相乗平均は成り立つんですか?あとあと足したらオッケーなんですか?###こういうのは、条件と分母に注目して、置き換えたらよい。x+2=t ‥‥①、とする。従って、t>0、である。この時、x+(9)/(x+2)=①より=(t-2)+(9)/(t)=(t)+(9)/(t)-2、になる。相加平均・相乗平均より、(t)+(9)/(t)≧6、だから、(t)+(9)/(t)-2≧4、になる。等号成立は、(t)=(9)/(t) → t=x+2=3、の時。ナイス0
###この質問は投票によってベストアンサーに選ばれました!###そのままx+9/(x+2)≧2√(9x/(x+2))としたら√(9x/(x+2))が一定にならないから無意味。一定にするには9/(x+2)に注目して、9/(x+2)+(x+2)の形にする。これならば9/(x+2)+(x+2)≧2√9/(x+2)×(x+2)=6となり一定になる。ただこうすると2を余計に足しているので-2を両辺に加えて9/(x+2)+(x+2)-3≧6-2=4ナイス0
###x+2>0, 9/(x+2)>0が成り立つから, これを使って相加≧相乗で片付けるほうがグラフを描いて調べるより手っ取り早そうだ, と気付くことができる訳です.あとあと足したらオッケー, というのがよく分かりません...ナイス0

 

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